Question

8．如图，已知椭圆C$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，点B坐标为（0，-1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．

Answer 1

分析 （1）设点E（t，t），则A（2t，2t+1），通过将点A代入椭圆C，计算即得结论；
（2）设P（x₀，y₀），①分别联立直线AP与直线y=x的方程、直线BP与直线y=x的方程，计算即得结论；②通过联立直线MB与椭圆方程，分别计算出k_AN、k_AQ，对比即得结论．

解答 （1）解：设点E（t，t），∵B（0，-1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴$\frac{（2t）^{2}}{2}+（2t+1）^{2}=1$，
整理得：6t²+4t=0，解得t=-$\frac{2}{3}$或t=0（舍去），
∴E（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），A（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
①直线AP方程为：y+$\frac{1}{3}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{3}}{{x}_{0}+\frac{4}{3}}$（x+$\frac{4}{3}$），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x_M=$\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}$，
直线BP的方程为：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}$，
∴OM•ON=$\sqrt{2}$|x_M|$•\sqrt{2}$|x_N|
=2•|$\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}$|•|$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{（{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}+（1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}）-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}}$|
=$\frac{4}{3}$．
②设直线MB的方程为：y=kx-1（其中k=$\frac{{y}_{M}+1}{{x}_{M}}$=$\frac{{x}_{M}+1}{{x}_{M}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4kx=0，
∴x_Q=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_AN=$\frac{{y}_{N}+\frac{1}{3}}{{x}_{N}+\frac{4}{3}}$=$\frac{3{x}_{N}+1}{3{x}_{N}+4}$=1-$\frac{3}{3{x}_{N}+4}$，k_AQ=$\frac{{y}_{Q}+\frac{1}{3}}{{x}_{Q}+\frac{4}{3}}$=1-$\frac{3}{2（k+1）}$，
要证A、Q、N三点共线，只需证k_AN=k_AQ，即3x_N+4=2k+2，
将k=$\frac{{x}_{M}+1}{{x}_{M}}$代入，即证：x_M•x_N=$\frac{2}{3}$，
由①的证明过程可知：|x_M|•|x_N|=$\frac{2}{3}$，
而x_M与x_N同号，∴x_M•x_N=$\frac{2}{3}$，
即A、Q、N三点共线．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．