Question

15．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N，P分别为AB₁，BC₁，DD₁的中点，给出下列结论：
①MN⊥AA₁
②直线C₁M与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
③MN⊥BP
④四面体B-DA₁C₁的体积为$\frac{1}{3}$
则正确结论的序号为①②③④．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．A（1，0，0），A₁（1，0，1），M$（1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，N$（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，C₁（0，1，1），B（1，1，0），P$（0，0，\frac{1}{2}）$．
①只要计算$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=0是否成立，即可判断出正误；
②取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），设直线C₁M与平面ABCD所成角为θ，利用sinθ=$|cos＜\overrightarrow{M{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{M{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，即可判断出正误；
③只要计算$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BP}$=0是否成立，即可判断出正误；
④${V}_{B-D{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{正方体A{C}_{1}}$-4×${V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$，即可判断出正误．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A（1，0，0），A₁（1，0，1），M$（1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，N$（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，C₁（0，1，1），B（1，1，0），P$（0，0，\frac{1}{2}）$．
①$\overrightarrow{MN}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=0，∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{A{A}_{1}}$，∴MN⊥AA₁，正确；
②$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=$（-1，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，取平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），设直线C₁M与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{M{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{M{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{M{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}×1}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，正确；
③$\overrightarrow{BP}$=$（-1，-1，\frac{1}{2}）$，∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0$=0，∴$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow{BP}$，∴MN⊥BP，正确；
④${V}_{B-D{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{正方体A{C}_{1}}$-4×${V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$=${1}^{3}-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$，因此正确．
综上可得：①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了利用向量垂直与数量积的关系、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．