Question

5．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，圆C₂：x²+y²=2，若存在直线l与椭圆C₁和C₂各有且只有一个交点，则称直线l为椭圆C₁和C₂的公切线．
（1）若椭圆C₁和C₂的公切线存在，求椭圆C₁的焦距取值范围；
（2）若椭圆C₁和C₂的公切线存在，且公切线与椭圆C₁和C₂的交点分别为A，B，求|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C₁的焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，讨论公切线l的斜率不存在，求得2c=$\sqrt{6}$；若l的斜率存在，则l的方程为y=kx+m，运用直线和圆相切的条件：d=r，以及直线和椭圆相切的条件：判别式为0，化简整理可得焦距的范围；
（2）若公切线的斜率不存在，则l：x=$±\sqrt{2}$，|AB|=0；若公切线的斜率存在，设l：y=kx+m，代入圆的方程和椭圆方程，求得A，B的横坐标，借助弦长公式，再由基本不等式即可得到|AB|的范围．

解答 解：（1）设椭圆C₁的焦距为2c，则$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
从而a²=$\frac{4}{3}$c²，b²=$\frac{1}{3}$c²，
方程为$\frac{3{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{3{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
若公切线l的斜率不存在，则l的方程为x=$±\sqrt{2}$，从而a=$\sqrt{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即有2c=$\sqrt{6}$，
若l的斜率存在，则l的方程为y=kx+m，
由l与圆C₂相切，得到$\sqrt{2}$=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即有m²=2+2k²，
将l的方程代入C₁的方程得到：3x²+12（kx+m）²=4c²，
即（12k²+3）x²+24kmx+12m²-4c²=0，
相切得到△=24²k²m²-4（12k²+3）（12m²-4c²）=0，
得到c²=$\frac{3{m}^{2}}{1+4{c}^{2}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{2+8{k}^{2}}$，所以c²∈（$\frac{3}{2}$，6]，
即2c∈（$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$]，
综上可得2c∈[$\sqrt{6}$，2$\sqrt{6}$]；
（2）若公切线的斜率不存在，则l：x=$±\sqrt{2}$，|AB|=0；
若公切线的斜率存在，设l：y=kx+m，
由（1）得x_A=-$\frac{km}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，
将l代入C₂可得（k²+1）x²+2kmx+m²-2=0，x_B=-$\frac{km}{1+{k}^{2}}$，
所以|AB|²=（1+k²）|$\frac{km}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$-$\frac{km}{1+{k}^{2}}$|²=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+{k}^{2}）（{k}^{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$
=$\frac{\frac{9}{8}}{{k}^{2}+\frac{1}{16{k}^{2}}+\frac{1}{2}}$≤$\frac{\frac{9}{8}}{2×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}$=$\frac{9}{8}$，
即有|AB|的取值范围为[0，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题考查直线和椭圆以及直线和圆的位置关系，主要考查相切的条件，考查运算能力，属于中档题．