Question

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F₁和F₂，上顶点为B，BF₂，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点T（4，3），记直线TM，TN的斜率分别为k₁，k₂，当k₁k₂最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆定义可知△ABF的周长为8即a=2，利用$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0可得b=c，计算即得结论；
（Ⅱ）对直线l的斜率进行讨论：①当直线l的斜率为0时，易得k₁•k₂=$\frac{3}{4}$；②当直线l的斜率不为0时，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理可得k₁•k₂的表达式，利用换元法、二次函数的性质及基本不等式，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABF的周长为8，∴4a=8，即a=2，
又∵B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），且$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BA}$=0，
∴（-c，-b）•（c，-b）=0，即b=c，
∵b²+c²=a²=4，∴b=c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）①当直线l的斜率为0时，即有y=0，
代入椭圆方程可得M（2，0），N（-2，0），
易得k₁•k₂=$\frac{3}{4}$；
②当直线l的斜率不为0时，直线l的方程为：x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2my-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由△=16m²+24＞0及韦达定理，
可得：y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-3•$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴k₁•k₂=$\frac{3-{y}_{1}}{4-{x}_{1}}$•$\frac{3-{y}_{2}}{4-{x}_{2}}$
=$\frac{9-3（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}{9-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）+{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{3{m}^{2}+2m+5}{4{m}^{2}+6}$
=$\frac{3}{4}$+$\frac{4m+1}{8{m}^{2}+12}$，
令t=4m+1，则k₁•k₂=$\frac{3}{4}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-2t+25}$，
当t≤0时，$\frac{2t}{{t}^{2}-2t+25}$=$\frac{2t}{（t-1）^{2}+24}$≤0，
当t＞0时，$\frac{2t}{{t}^{2}-2t+25}$=$\frac{2}{t+\frac{25}{t}-2}$≤$\frac{1}{4}$，
当且仅当t=5，即m=1时等号成立，
此时k₁•k₂=$\frac{3}{4}$+$\frac{4×1+1}{8×1+12}$=1；
综上所述，当k₁•k₂最大时，直线l的方程为：x-y-1=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．