Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求证：$\frac{tanA}{2}$•$\frac{tanC}{2}$≥（$\frac{tanB}{2}$）²．

Answer 1

分析 运用等差数列的性质，结合正弦定理，三角函数的和差化积公式和同角的商数关系，化积可得tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$，再由二倍角的正切公式，结合基本不等式化积所求不等式的左边，再由余弦定理和基本不等式可得B的范围，进而得证．

解答 解：在△ABC中，∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，再结合正弦定理可得2sinB=sinA+sinC．
2sin（A+C）=sinA+sinC，
4sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A+C}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$，
即为2（cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$+sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
即有cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{C}{2}$=3sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{C}{2}$，
则tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{tanA}{2}$•$\frac{tanC}{2}$=$\frac{tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$•$\frac{tan\frac{C}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{A}{2}ta{n}^{2}\frac{C}{2}-（ta{n}^{2}\frac{A}{2}+ta{n}^{2}\frac{C}{2}）}$
≥$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{10}{9}-2×\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
由2b=a+c≥2$\sqrt{ac}$，
可得b²≥ac，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{3{b}^{2}}{2ac}$-1≥$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，
即有0＜B≤$\frac{π}{3}$，
即有tanB≤$\sqrt{3}$，
则（$\frac{tanB}{2}$）²$≤\frac{3}{4}$，
故$\frac{tanA}{2}$•$\frac{tanC}{2}$≥（$\frac{tanB}{2}$）²成立．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查等差数列的性质，三角函数的恒等变换和基本不等式的运用，属于中档题．