Question

14．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$，过直线l：x=4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A、B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的任一点N（x₀，y₀）处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；
（3）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$及b²+c²=a²，计算即得结论；
（2）通过分别将点M的坐标（4，t）代入切线方程，利用两点确定唯一的一条直线，即得结论；
（3）通过将直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理计算$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$即可．

解答 解：（1）由椭圆E过点P（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²+c²=a²，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为：$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$、$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}=1$，
又∵两切线均过点M，∴${x}_{1}+\frac{t}{3}{y}_{1}=1$、${x}_{2}+\frac{t}{3}{y}_{2}=1$，
即点A、B的坐标都适合方程$x+\frac{t}{3}y=1$，而两点确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是$x+\frac{t}{3}y=1$，
显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
∴直线AB恒过定点C（1，0）；
（3）结论：存在实数$λ=\frac{4}{3}$，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立．
理由如下：
将直线AB的方程$x+\frac{t}{3}y=1$代入椭圆方程，
得：$3（-\frac{t}{3}y+1）^{2}+4{y}^{2}-12=0$，即$（\frac{{t}^{2}}{3}+4）{y}^{2}-2ty-9=0$，
由韦达定理可得：y₁+y₂=$\frac{6t}{12+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{27}{12+{t}^{2}}$，
不妨设y₁＞0，y₂＜0，
∵|AC|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（1+\frac{{t}^{2}}{9}）{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{9+{t}^{2}}}{3}$y₁，同理|BC|=-$\frac{\sqrt{9+{t}^{2}}}{3}$y₂，
∴$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=-$\frac{3}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{（\frac{6t}{12+{t}^{2}}）^{2}+\frac{108}{12+{t}^{2}}}}{\frac{-27}{12+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{9+{t}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{144{t}^{2}+9×144}}{9}$=$\frac{4}{3}$，
即|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|，
故存在实数$λ=\frac{4}{3}$，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．