Question

9．当且仅当x∈（a，b）∪（c，d）（其中b≤c）时，函数f（x）=2x²+x+2的图象在函数g（x）=|2x+1|+|x-t|图象的下方，则b-a+d-c的取值范围为（0，2]．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，再画出f（x）、g（x）的图象，结合题意可得1＜t≤$\frac{3}{2}$，运用二次方程的两根之差，求出b-a，d-c关于t的函数，可得d-c+b-a的范围．

解答 解：作出函数f（x）=2x²+x+2的图象，
由函数g（x）=|2x+1|+|x-t|的图象可得t=1时，
当x＜-$\frac{1}{2}$时，g（x）=-2x-1+1-x=-3x，
由2x²+x+2=-3x，即有x²+2x+1=0，
f（x）的图象和g（x）的图象相切，
当b=c=-$\frac{1}{2}$时，即有g（-$\frac{1}{2}$）=|-$\frac{1}{2}$-t|=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$+2，
解得t=$\frac{3}{2}$（-$\frac{5}{2}$舍去），
由题意可得1＜t≤$\frac{3}{2}$，
当x＜-$\frac{1}{2}$时，g（x）=-2x-1+t-x=-3x+t-1，
由f（x）=g（x），可得2x²+4x+3-t=0，
即有b-a=$\sqrt{（-2）^{2}-4×\frac{3-t}{2}}$=$\sqrt{2（t-1）}$，
当-$\frac{1}{2}$＜x＜t时，g（x）=2x+1+t-x=x+t+1，
由f（x）=g（x），即为2x²=t-1，解得x=±$\sqrt{\frac{t-1}{2}}$，
可得d-c=$\sqrt{2（t-1）}$，
则b-a+d-c=2$\sqrt{2（t-1）}$，
由1＜t$≤\frac{3}{2}$，可得b-a+d-c∈（0，2]．
故答案为：（0，2]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．