Question

4．棱长是1的正四面体PABC的四个顶点都在球O的表面上，若M、N分别是棱CA、CB的中点，则△PMN所在的平面截球O所得的截面面积是（　　）

• A． $\frac{2}{11}π$
• B． $\frac{4}{11}π$
• C． $\frac{8}{11}π$
• D． $\frac{16}{11}π$

Answer 1

分析 由条件利用正四面体的性质，等边三角形的性质，三角形的重心的性质，求得球的半径PO的值，再利用等体积法求得点O到平面PMN的距离，可得平面PMN截球得到的截面圆的半径r的值，从而求得△PMN所在的平面截球O所得的截面面积．

解答 解：设等边△ABC的中心为H，球心为O，则PH⊥平面ABC，且O∈PH．
设CH∩MN=K，CH∩AB=E，则K为等腰三角形PMN的边MN的中点．
根据正四面体PABC的棱长为1，可得CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CK=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CH=$\frac{2}{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PH=$\sqrt{{PC}^{2}{-CH}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，HK=CH-CK=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∵四面体ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PH=4V_O-ABC=4•$\frac{1}{3}$•S_△ABC•OH，∴球的半径PO=$\frac{3}{4}$PH=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
设H到平面PMN的距离为x，则点O到平面PMN的距离为$\frac{3}{4}$x．
由V_P-HMN=V_H-PMN，可得$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$MN•HK）•PH=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•MN•PK）•x，可得HK•PH=PK•x，
即 $\frac{\sqrt{3}}{12}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{{PH}^{2}{+HK}^{2}}$x=$\sqrt{\frac{33}{48}}$•x，求得x=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{11}}$，∴点O到平面PMN的距离为$\frac{3}{4}$x=$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{11}}$．
设平面PMN截球得到的截面圆的半径为r，则r=$\sqrt{{PO}^{2}{-（\frac{3}{4}x）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，故△PMN所在的平面截球O所得的截面面积为πr²=$\frac{4π}{11}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正四面体的性质，用等体积法求出点到平面的距离，圆的截面性质，等边三角形的性质，三角形的重心的性质，属于中档题．