Question

7．已知直线l与圆锥曲线C相交于两点A，B，与x轴，y轴分别交于D、E两点，且满足$\overrightarrow{EA}={λ_1}\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{EB}={λ_2}\overrightarrow{BD}$
（1）已知直线l的方程为y=2x-4，抛物线C的方程为y²=4x，求λ₁+λ₂的值；
（2）已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}$=1，求$\frac{1}{λ_1}+\frac{1}{λ_2}$的取值范围；
（3）已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}），{λ_1}+{λ_2}=\frac{{2{a^2}}}{b^2}$，试问D是否为定点？若是，求点D的坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将直线y=2x-4代入抛物线方程y²=4x，求得交点A，B，再由向量共线的坐标表示，即可得到所求值；
（2）联立方程组，利用消元法结合根与系数之间的关系，推出λ₁+λ₂=-4，即可得到结论；
（3）设直线为x=my+t，（m≠0）代入双曲线方程，化简整理，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合条件即可求得D为定点．

解答 解：（1）将直线y=2x-4代入抛物线方程y²=4x，
可得x²-5x+4=0，解得x₁=1，x₂=4，
即有A（4，4），B（1，-2），D（2，0），E（0，-4），
λ₁=$\frac{4-0}{2-4}$=-2，λ₂=$\frac{1-0}{2-1}$=1，
即有λ₁+λ₂=-1；
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
得（m²+2）y²+2my-1=0，
得y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
又点D（1，0），E（0，-$\frac{1}{m}$），
由$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$得到y₁+$\frac{1}{m}$=-λ₁y₁，λ₁=-（1+$\frac{1}{m}$$•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$得到y₂+$\frac{1}{m}$=-λ₂y₂，λ₂=-（1+$\frac{1}{m}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$），
λ₁+λ₂=-（2+$\frac{1}{m}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$）=-（2+$\frac{1}{m}$•2m）=-4，
即λ₁+λ₂=-4，$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$=-$\frac{4}{{λ}_{1}{λ}_{2}}$=$\frac{4}{{{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}}$=$\frac{4}{（{λ}_{1}+2）^{2}-4}$，
因为m＞1，
所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，
由分点的性质可知λ₁∈（$\sqrt{2}$-2，+∞），
所以$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$∈（-∞，-2）；
（3）设直线为x=my+t，（m≠0）代入双曲线方程，可得
（b²m²-a²）y²+2b²mty+b²t²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=$\frac{2{b}^{2}mt}{{a}^{2}-{b}^{2}{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{b}^{2}{t}^{2}-{b}^{2}{a}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}}$，
又D（t，0），E（0，-$\frac{t}{m}$），
由$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$得到y₁+$\frac{t}{m}$=-λ₁y₁，λ₁=-（1+$\frac{t}{m}$$•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$得到y₂+$\frac{t}{m}$=-λ₂y₂，λ₂=-（1+$\frac{t}{m}$•$\frac{1}{{y}_{2}}$），
λ₁+λ₂=-（2+$\frac{t}{m}$•$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$）=-（2+$\frac{t}{m}$•$\frac{2{b}^{2}mt}{{b}^{2}{a}^{2}-{b}^{2}{t}^{2}}$）=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
化简可得，$\frac{2{a}^{2}}{{t}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
解得t=$±\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即有D（±$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0），
则D为定点，坐标为（±$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0），

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．