Question

17．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4^x，x∈（1，2）时，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$，令g（x）=2f（x）-x-4，x∈[-6，2]，则函数g（x）的零点个数为（　　）

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由x∈[0，1]时，f（x）=4^x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$=$\frac{4}{x}$，而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，画出函数图象，结合函数的图象可求

解答 解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4^x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）时，f（x）=$\frac{f（1）}{x}$=$\frac{4}{x}$，
∵g（x）=2f（x）-x-4，x∈[-6，2]，
令g（x）=2f（x）-x-4=0，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x+2
∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位，
分别画出函数y=f（x）在x∈[-6，2]，y=$\frac{1}{2}$x+2的图象，
∴y=f（x）在x∈[-6，2]，y=$\frac{1}{2}$x+2有8个交点，
故函数g（x）的零点个数为8个．


故选：C

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键