Question

9．已知双曲线过点（-1，0），离心率为2，过双曲线的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{4}$的弦AB．求△F₂AB的周长．

Answer 1

分析 运用离心率公式和a，b，c 的关系，求得双曲线方程，设出直线AB的方程，联立双曲线方程，求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F₂AB的周长．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由题意可得a=1，e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
过左焦点F₁（-2，0）作倾斜角为$\frac{π}{4}$的弦AB，
设方程为y=x+2，
代入双曲线方程可得，2x²-4x-7=0，
解得x=1±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
可得A（1+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（1-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），F₂（2，0），
则有△F₂AB的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$
+$\sqrt{（1+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（3-\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=6+$\sqrt{19+6\sqrt{2}}$+$\sqrt{19-6\sqrt{2}}$，
可令$\sqrt{19+6\sqrt{2}}$+$\sqrt{19-6\sqrt{2}}$=t，则t²=38+2$\sqrt{1{9}^{2}-36×2}$=72，
即有△F₂AB的周长为6+6$\sqrt{2}$

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率和方程的运用，联立直线方程，求得交点，考查运算求解能力，属于中档题．