Question

4．直角坐标系中曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=2sinθ\end{array}$（θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2，1）作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）变形曲线C的参数方程可得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，由同角三角函数基本关系消参数可得；
（2）设直线l的倾斜角为θ，可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，代入曲线C的直角坐标方程可得t的二次方程，由韦达定理和t₁=-2t₂可得斜率k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）变形曲线C的参数方程可得$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设直线l的倾斜角为θ，
可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数）
代入曲线C的直角坐标方程并整理得（cos²θ+4sin²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0
由韦达定理可得t₁+t₂=-$\frac{4cosθ+8sinθ}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=$\frac{-8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$
由题意可知t₁=-2t₂，代入上式得12sin²θ+16sinθcosθ+3cos²θ=0，
即12k²+16k+3=0，解方程可得直线的斜率为k=$\frac{-4±\sqrt{7}}{6}$

点评 本题考查参数方程和普通方程的关系，涉及三角函数的韦达定理，属中档题．