Question

15．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．

Answer 1

分析 （1）证明三角形中两对对应角相等，即可证明结论；
（2）利用切割线定理，结合三角形相似的性质，即可求△ABC的外接圆的半径．

解答 （1）证明：∵AE是直径，∴$∠ABE=\frac{π}{2}=∠ADC$…（1分）
又∵∠AEB=∠ACD…（2分）
∴△ABE∽△ADC…（4分）
（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，
∴AF²=FC•FB
∴FA=2$\sqrt{6}$，…（5分）
∴AD=2$\sqrt{2}$…（7分）
∴AC=2$\sqrt{3}$ …（8分）
∴AB=6$\sqrt{2}$，…（9分）
由（1）得$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$
∴AE=6$\sqrt{3}$
∴△ABC的外接圆的半径为3$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．