Question

10．已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线Г的焦点与双曲线x²-y²=1的右顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线Г的标准方程；
（Ⅱ）过点P（1，0）的动直线l交抛物线Г于A，B两点，以线段AB为直径作圆C，试探究是否存在实数m，使得直线x=m总是与圆C相切，如果存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出双曲线的顶点，可得抛物线的焦点，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）假设存在实数m，使得直线x=m总是与圆C相切，由直线和圆相切的条件：d=r，结合抛物线的定义，可得AB的长，进而得到m=-1总成立，即可判断存在．

解答 解：（Ⅰ）双曲线x²-y²=1的右顶点为（1，0），
则抛物线的焦点为（1，0），
即有抛物线Г的标准方程为y²=4x；
（Ⅱ）假设存在实数m，使得直线x=m总是与圆C相切，
即有圆心到直线的距离等于AB长的一半．
抛物线的准线为x=-1，
设AB的中点为D，由于直线AB经过焦点（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由抛物线的定义可得，|AB|=x₁+1+x₂+1=（x₁+x₂）+2，
由假设可得|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-m|=1+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即有m=-1，
故存在实数m=-1，使得直线x=-1总是与圆C相切．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的定义和方程的运用，同时考查直线和圆的位置关系：相切，属于中档题．