Question

7．苹果iPone6 Plus采用的新一代A8芯片为最快芯片，为进一步改革质量稳定销售市场，要对其中某项技术的五项不同指标A、B、C、D、E进行改革并顺序一一量化检测，如果一项指标不合格，则该技术不过关，停止测试；已知每一项测试都是相互独立的，该技术指标A、B、C、D四项指标合格的概率均为$\frac{2}{3}$，第五项E合格的概率为$\frac{3}{4}$，假设每项指标合格可得5分，不合格得0分．
（1）若先各项试测一次初步掌握各项情况，求5项指标检测中恰有两项合格的概率；
（2）求该项技术至少测试了4项的概率；
（3）记该技术的最后得分为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）分两种情况，ABCD中有两个合格，E不合格，ABCD中合格一个，E合格，分别求概率，可得结论；
（2）该项技术至少测试了4项的概率为$（\frac{2}{3}）^{4}$；
（3）X的可能取值为0，5，10，15，20，25，求出相应的概率，列出分布列，再求数学期望．

解答 解：（1）分两种情况，ABCD中有两个合格，E不合格的概率为${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}$$•\frac{1}{4}$=$\frac{2}{27}$，ABCD中合格一个，E合格的概率为${C}_{4}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{3}{4}$=$\frac{2}{27}$，所以5项指标检测中恰有两项合格的概率为$\frac{4}{27}$；
（2）该项技术至少测试了4项的概率为$（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$；
（3）X的可能取值为0，5，10，15，20，25，则
P（X=0）=$（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{1}{324}$，P（X=5）=${C}_{4}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{3}•\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{3}）^{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{11}{324}$，P（X=10）=$\frac{4}{27}$，
P（X=15）=${C}_{4}^{3}•（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{1}{3}•\frac{1}{4}$+${C}_{4}^{2}•（\frac{2}{3}）^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{3}{4}$=$\frac{104}{324}$，P（X=20）=$（\frac{2}{3}）^{4}•\frac{1}{4}$+${C}_{4}^{3}•（\frac{2}{3}）^{3}•\frac{1}{3}•\frac{3}{4}$=$\frac{112}{324}$，
P（X=25）=$（\frac{2}{3}）^{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{48}{324}$．
X的分布列

X	0	5	10	15	20	25
P	$\frac{1}{324}$	$\frac{11}{324}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{104}{324}$	$\frac{112}{324}$	$\frac{48}{324}$

数学期望E（X）=0×$\frac{1}{324}$+5×$\frac{11}{324}$+10×$\frac{4}{27}$+15×$\frac{104}{324}$+20×$\frac{112}{324}$+25×$\frac{48}{324}$=$\frac{5535}{324}$．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，列出分布列，再求数学期望是关键．