Question

16．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
（1）只有1名女生当选；
（2）两名队长当选；
（3）至少有1名队长当选；
（4）至多有2名女生当选；
（5）既要有队长，又要有女生当选．

Answer 1

分析 （1）（3）（4）利用直接法；（2）利用间接法；
（5）由题意分两大类，第一类男队长当选，第一类，再分4小类，弟二类男队长不当选，则女队长当选，第二类，再分5小类，根据分类计数原理可得

解答 解：（1）只有1名女生当选，有${C}_{5}^{1}{C}_{8}^{4}$=350种；
（2）两名队长当选，有${C}_{11}^{3}$=165种；
（3）至少有1名队长当选，有${C}_{13}^{5}$-${C}_{11}^{5}$=825种；
（4）至多有2名女生当选，有${C}_{8}^{5}+{C}_{8}^{4}{C}_{5}^{1}+{C}_{8}^{3}{C}_{5}^{2}$=966种；
（5）男队长当选，有1名男生，4名女生，有C₅⁴=5种，
有2名男生，3有名女生，有C₇¹C₅³=70种，
有3名男生，2名女生，有C₇²C₅²=210种，
有4名男生，1名女生，有C₇³C₅¹=175种，
共计5+70+210+175=460种
男队长不当选，则女队长当选，
有5名女生，有C₄⁴=1种，
有1名男生，4名女生，有C₇¹C₄³=28种，
有2名男生，3有名女生，有C₇²C₄²=126种，
有3名男生，2名女生，有C₇³C₄¹=140种，
有4名男生，1名女生，有C₇⁴=35种，
共计1+28+126+140+35=330种，
既要有队长，又要有女生当选，则有460+330=790种选法

点评 本题考查了分类、分步计数原理，考查直接法、间接法的运用，（5）关键分类，类中有类，属于中档题．