Question

2．设方程$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{n}$=1表示焦点在x轴上的椭圆．
（1）若椭圆的焦距为1，离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的方程；
（2）设m+n=1，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的第一象限内的点，直线F₂P交y轴与点Q，并且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$，证明：当m，n变化时，点P在某定直线上．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆焦距为1可得$2\sqrt{m-n}=1$，利用e=$\frac{1}{2}$可得$\frac{\sqrt{m-n}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，计算即得结论；
（2）设P（x₀，y₀）为第一象限内椭圆上的点，可得PF₂的方程，进而可得点Q坐标，利用$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=0，计算可得结论．

解答 （1）解：由题意可知m＞n＞0，
∵椭圆焦距为1，∴$2\sqrt{m-n}=1$，
又∵e=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{\sqrt{m-n}}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2}$，
∴m=1，n=$\frac{3}{4}$，
∴椭圆方程为：${x}^{2}+\frac{4{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设P（x₀，y₀）为第一象限内椭圆上的点，则$\frac{{{x_0}^2}}{m}+\frac{{{y^2}_0}}{n}=1$，
∵F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，∴F₁（-$\sqrt{m-n}$，0）、F₂（$\sqrt{m-n}$，0），
∴PF₂的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{m-n}}$（x-$\sqrt{m-n}$），
∵直线F₂P交y轴于点Q，∴Q（0，$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₀+$\sqrt{m-n}$，y₀）•（$\sqrt{m-n}$，$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$）
=x₀$\sqrt{m-n}$+m-n+y₀•$\frac{{y}_{0}\sqrt{m-n}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$=0，
∴x₀+$\sqrt{m-n}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{\sqrt{m-n}-{x}_{0}}$=0，即m-n-${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=0，
又∵$\frac{{{x_0}^2}}{m}+\frac{{{y^2}_0}}{n}=1$与m+n=1，
联立可解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1-n}\\{{y}_{0}=n}\end{array}\right.$，∴x₀+y₀=1，
故P点在定直线x+y=1上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆的方程、点在定直线上，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．