Question

7．在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若$\overrightarrow{m}$=（b，$\sqrt{3}$cosB），$\overrightarrow{n}$=（sinA，-a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由条件利用正弦定理求得tanB=$\sqrt{3}$，由此求得B的值．
（2）由条件利用正弦定理得c=2a，再由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，求得a的值，可得c=2a的值，即可求解△ABC的面积．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（b，$\sqrt{3}$cosB），$\overrightarrow{n}$=（sinA，-a），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
∴bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，
∴由正弦定理可得：sinBsinA-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，即有：sinA（sinB-$\sqrt{3}$cosB）=0，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴sinB-$\sqrt{3}$cosB=0，可解得：tanB=$\sqrt{3}$．
∵0＜B＜π
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵由（1）可得：cosB=$\frac{1}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵sinC=2sinA，
∴c=2a，
由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，即9=a²+4a²-2a•2a•$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，c=2a=2$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．