Question

18．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，动点C满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，给出以下命题：
①若x+y=1，则点C的轨迹是直线；
②若|x|+|y|=1，则点C的轨迹是矩形；
③若xy=1，则点C的轨迹是抛物线；
④若$\frac{x}{y}$=1，则点C的轨迹是直线；
⑤若x²+y²+xy=1，则点C的轨迹是圆．
以上命题正确的是①②⑤（写出你认为正确的所有命题的序号）．

Answer 1

分析 利用条件，对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：因为向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$满足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，
所以∠AOB=60°．
因为动点C满足$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
所以①若x+y=1，则C，A，B共线，所以点C的轨迹是直线AB，正确；
②若|x|+|y|=1，由①，可得点C的轨迹是矩形，正确；
③设C（m，n），A（a，b），B（c，d），则m=ax+cy，n=bx+dy，xy=1，则点C的轨迹不是抛物线，故不正确；
④若$\frac{x}{y}$=1，即x=y，由①x+y=1，点C的轨迹是直线，故不正确；
⑤$\overrightarrow{OC}$²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=x²+y²+xy=1，则点C的轨迹是圆，正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查命题的真假判断，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．