Question

5．设A和B分别是两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和，且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{7n+35}{n+2}$，则使得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的正整数n的个数是（　　）

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系计算即可．

解答 解：由等差数列的前n项和及等差中项，
可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{1}{2}（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{\frac{1}{2}（2n-1）（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}$
=$\frac{{A}_{2n-1}}{{B}_{2n-1}}$
=$\frac{7×（2n-1）+35}{（2n-1）+2}$
=7+$\frac{21}{2n+1}$（n∈N^*），
故n=1、3、10时，$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数，
故选：C．

点评 本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用，注意解题方法的积累，属于中档题．