Question

13．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，离心率$e=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，且过点$（2\sqrt{2}，\frac{1}{3}）$，
（1）求椭圆方程；
（2）Rt△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB，BC与椭圆交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，以及点满足方程，解方程，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）分别设出AB，AC的方程，代入椭圆方程，求得B，C的横坐标，运用弦长公式，以及三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（1）由$e=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，又a²-b²=c²，得a=3b，
把点$（2\sqrt{2}，\frac{1}{3}）$带入椭圆方程可得：$\frac{{{{（2\sqrt{2}）}^2}}}{{9{b^2}}}+\frac{{{{（\frac{1}{3}）}^2}}}{b^2}=1⇒b=1$，
所以椭圆方程为：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）不妨设AB的方程y=kx+1，
则AC的方程为$y=-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{9}+{y^2}=1\end{array}\right.$得：（1+9k²）x²+18kx=0$⇒{x_B}=\frac{-18k}{{1+9{k^2}}}$，
k用$-\frac{1}{k}$代入，可得${x_C}=\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
从而有$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{18k}{{1+9{k^2}}}，|{AC}|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{18k}{{9+{k^2}}}$，
于是 $S{\;}_{△ABC}=\frac{1}{2}|{AB}||{AC}|=162\frac{{k（1+{k^2}）}}{{（1+9{k^2}）（9+{k^2}）}}=162\frac{{k+\frac{1}{k}}}{{9（{k^2}+\frac{1}{k^2}）+82}}$．
令$t=k+\frac{1}{k}≥2$，有$S{\;}_{△ABC}=\frac{162t}{{9{t^2}+64}}=\frac{162}{{9t+\frac{64}{t}}}≤\frac{27}{8}$，
当且仅当$t=\frac{8}{3}＞2$，${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{27}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式和基本不等式的运用，属于中档题．