Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{3}$y的焦点，且离心率为e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB交椭圆C于M，N两点．试问$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$是否为定值，若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义求出a=2，再求出b，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韦达定理，求出|MN|，同理求出|AB|，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）抛物线x²=4$\sqrt{3}$y的焦点为（0，$\sqrt{3}$），则b=$\sqrt{3}$．
$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²=3解得a=2，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）①当直线斜率不存在时，|AB|²=（2b）²=4b²，|MN|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$=2a=4．…（6分）
②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$．…（10分）
由直线y=kx代入椭圆方程，消去y，并整理得：x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₃-x₄|=4$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$=$\frac{\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=4，
综上所述，$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}$为定值4．  …（13分）

点评 本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．