Question

8．如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F₂的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F₁BF₂面积的最大值为$\sqrt{{a}^{2}-1}$（a＞1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）求三角形F₁AB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，即可求椭圆C的方程（用a表示）；
（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F₁AB面积，分类讨论，即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，-1），
当B与上（或下）顶点重合时，三角形F₁BF₂面积最大S=$\frac{1}{2}•2c•1$=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）三角形F₁AB面积S=$\frac{1}{2}•AB•2csinα$=c•AB•sinα（α为F₂B与x轴正向所成的角）
设F₂（c，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB：y=k（x-c），
代入椭圆方程可得（1+a²k²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}c}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$
∴AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2a}{1+（{a}^{2}-1）si{n}^{2}α}$，
∴S=c•AB•sinα=$\frac{2ac}{\frac{1}{sinα}+（{a}^{2}-1）sinα}$，
a$≥\sqrt{2}$时，S≤$\frac{2ac}{2\sqrt{{a}^{2}-1}}$=a；
1＜a＜$\sqrt{2}$时，S≤$\frac{2ac}{{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．