Question

20．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，且其离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，求△ABF外接圆的方程．

Answer 1

分析 （1）通过将点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$代入椭圆C方程以及$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，计算即得结论；
（2）通过$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$计算可得A（0，-1）或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，分A为（0，-1）、A为$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵椭圆C经过点$M（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$，①
∵椭圆C的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b² ②
联立①②解得：a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）∵椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
∴F（1，0），B（0，1）．
设A（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，③
∵$\overrightarrow{BA}=（{x_0}，{y_0}-1），\overrightarrow{BF}=（1，-1）$，且$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}=2$，
∴x₀-（y₀-1）=2，即y₀=x₀-1，④
联立③④解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=0\\{y_0}=-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{4}{3}\\{y_0}=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
∴A（0，-1），或$A（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，
当A为（0，-1）时，∵|OA|=|OB|=|OF|=1，
∴△ABF的外接圆是以O为圆心，1为半径的圆，
此时外接圆的方程为：x²+y²=1；
当A为$（\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$时，设△ABF的外接圆方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}1+D+F=0\\ 1+E+F=0\\ \frac{17}{9}+\frac{4}{3}D+\frac{1}{3}E+F=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-\frac{4}{3}\\ E=-\frac{4}{3}\\ F=\frac{1}{3}.\end{array}\right.$，
此时外接圆的方程为：${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=0$，
综上所述，△ABF的外接圆的方程为：x²+y²=1或${x^2}+{y^2}-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}=0$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆、圆的方程，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．