Question

14．已知△ABC的三个顶点A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），点P是它的内切圆上一点，求以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由题意可知△ABC是边长为3，4，5的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和，转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题．

解答 解：由A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积S=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}×3×4$=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r，解得r=1，
即内切圆圆心坐标为（1，1），
∵P在内切圆上，
∴（x-1）²+（y-1）²=1．
∵P点到A，B，C距离的平方和为d=x²+y²+（x-4）²+y²+x²+（y-3）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2x+19=22-2x
显然 0≤x≤2 即18≤d≤22，
∴$\frac{9π}{2}≤\frac{πd}{4}≤\frac{11π}{2}$，即以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和最大值为$\frac{11π}{2}$，最小值为$\frac{9π}{2}$．

点评 本题考查了解析法求最值，求三个圆的面积之和的最大值与最小值的和转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最值问题，体现了转化的思想方法，是中档题．