Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 依题意，可得a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），继而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项，1为公差的等差数列，从而可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵a₁=2，且a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
即$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1（n≥2），
即数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项，1为公差的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）×1=n，
∴a_n-1=$\frac{1}{n}$，
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，求得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=1为首项，1为公差的等差数列是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．