Question

4．已知函数f（x）=asinx+acosx+1-a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求曲线的对称轴方程；
（2）若f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]化为f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a，对a分类讨论可求f（x）的对称轴方程；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，从而可求sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，结合题意可求a的值．

解答 解：（1）f（x）=asinx+acosx+1-a=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a，
当a≠0时，x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即x=kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴曲线的对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$；
当a=0时，f（x）=1，同理可得曲线的对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$；
综上，曲线的对称轴方程为x=$\frac{π}{4}$；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
①当a＞0时，f（x）_max=（$\sqrt{2}$-1）a+1=$\sqrt{2}$，解得a=1；
②当a＜0时，f（x）_max=$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-a=1≠$\sqrt{2}$，即a＜0不符合题意；
③当a=0时f（x）_max=1≠$\sqrt{2}$，即a=0不符合题意；
综上所述，a=1．

点评 本题考查三角函数的最值，突出考查学生辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，分类讨论与转化的思想，综合性强，属于中档题．