Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF₁F₂的周长是8+2$\sqrt{15}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆T：（x-t）²+y²=$\frac{4}{9}$，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（1，3）时，求EF的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF₁F₂的周长是$8+2\sqrt{15}$得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到
${k}_{1}+{k}_{2}=-\frac{18t}{9{t}^{2}-4}，{k}_{1}{k}_{2}=\frac{5}{9{t}^{2}-4}$，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到k_EF=$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{{1-16{k_1}{k_2}}}=\frac{6t}{{28-3{t^2}}}$．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围．

解答 解：（1）由$e=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，可知a=4b，$c=\sqrt{15}b$，
∵△PF₁F₂的周长是$8+2\sqrt{15}$，
∴$2a+2c=8+2\sqrt{15}$，
∴a=4，b=1，
所求椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$；
（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，
由直线y=kx+1与T相切可知$\frac{{|{kt+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{2}{3}$，
即（9t²-4）k²+18tk+5=0，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=-\frac{18t}{9{t}^{2}-4}，{k}_{1}{k}_{2}=\frac{5}{9{t}^{2}-4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+1\\ \frac{x^2}{16}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（{1+16{k_1}^2}）{x^2}+32{k_1}x=0$．
∴${x_E}=-\frac{{32{k_1}}}{{1+16{k_1}^2}}$，
同理${x_F}=-\frac{{32{k_2}}}{{1+16{k_2}^2}}$，
则${k_{EF}}=\frac{{{y_E}-{y_F}}}{{{x_E}-{x_F}}}=\frac{{（{{k_1}{x_E}+1}）-（{{k_2}{x_F}+1}）}}{{{x_E}-{x_F}}}=\frac{{{k_1}{x_E}-{k_2}{x_F}}}{{{x_E}-{x_F}}}$=$\frac{{{k_1}+{k_2}}}{{1-16{k_1}{k_2}}}=\frac{6t}{{28-3{t^2}}}$．
当1＜t＜3时，$f（t）=\frac{6t}{{28-3{t^2}}}$为增函数，故EF的斜率的范围为$（{\frac{6}{25}，18}）$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查了直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是中档题．