Question

10．光线l从点P（1，-3）发出，被直线y=x反射后与圆（x+2）²+（y+5）²=1相切，求反射光线所在直线方程．

Answer 1

分析 由题意易得反射关系的方程为y-1=k（x+3），由直线与圆相切可得k值，验证直线无斜率的情形即可．

解答 解：由对称性易得P（1，-3）关于直线y=x的对称点为P′（-3，1），
问题转化为从点P′射出的光线l′与圆相切，
设l′的斜率为k，则直线方程为y-1=k（x+3），即kx-y+3k+1=0，
又可得圆的圆心为（-2，-5），半径为1，
由点到直线的距离公式可得$\frac{|-2k+5+3k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{35}{12}$，
此时直线的方程为y-1=-$\frac{35}{12}$（x+3），即35x+12y-93=0；
当直线l′无斜率时，直线x=-3也满足题意，
∴反射光线所在直线方程为x=-3或35x+12y-93=0

点评 本题考查直线的对称性，涉及直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属中档题．