Question

17．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一焦点F在抛物线y²=4x 的准线上，且点M（1，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在椭圆上
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过直线x=-2上一点P作椭圆E的切线，切点为Q，证明：PF⊥QF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线y²=4x的准线，求出c，利用点$M（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆上，求出a，可得b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过PQ：y=kx+m，并代入到$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，求得Q的坐标，证明$\overrightarrow{PF}⊥\overrightarrow{QF}$，即可证明：PF⊥QF．

解答 （Ⅰ）解：抛物线y²=4x的准线为x=-1，则F（-1，0），即c=1．…（2分）
又点$M（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆上，则$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2（{{a^2}-1}）}}=1$，解得a²=2，…（4分）
故求椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）证明：设P（-2，y₀）、Q（x₁，y₁）．
依题意可知切线PQ的斜率存在，设为k，则PQ：y=kx+m，并代入到$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$中，
整理得：（2k²+1）x²+4mkx+2（m²-1）=0…（8分）
因此△=16m²k²-8（2k²+1）（m²-1）=0，即m²=2k²+1．…（9分）
从而${x_1}=-\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}$，${y_1}=-\frac{{2m{k^2}}}{{2{k^2}+1}}+m=\frac{m}{{2{k^2}+1}}$，则$Q（{-\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}，\frac{m}{{2{k^2}+1}}}）$；…（10分）
又y₀=-2k+m，则P（-2，-2k+m），$\overrightarrow{PF}=（{1，2k-m}），\overrightarrow{QF}=（{\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}-1，-\frac{m}{{2{k^2}+1}}}）$．…（11分）
由于$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}=\frac{2mk}{{2{k^2}+1}}-1-\frac{{m（{2k-m}）}}{{2{k^2}+1}}=\frac{m^2}{{2{k^2}+1}}-1=0$，故$\overrightarrow{PF}⊥\overrightarrow{QF}$，即PF⊥QF．…（13分）

点评 本题考查抛物线的性质，椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．