Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求证：MN⊥x轴；
（Ⅲ）若直线mn与X轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），利用焦点为F（1，0），可求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切线AC、BD的方程，求得M的横坐标，求出直线AD、BC的方程，求得N的横坐标，即可证得结论；
（Ⅲ）求得A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都满足方程y₀y=2（1+x），即直线AB的方程为y₀y=2（1+x），从而可得结论．

解答 （Ⅰ）解：由题意，可设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），则$\frac{p}{2}$=1，即p=2．
所以抛物线的标准方程为y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁＞0，y₂＞0．
由y²=4x（y＞0），得y=2$\sqrt{x}$，所以y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$．
所以切线AC的方程为y-y₁=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$（x-x₁），即y-y₁=$\frac{2}{y}$（x-x₁）．
整理，得yy₁=2（x+x₁），①且C点坐标为（-x₁，0）．
同理得切线BD的方程为yy₂=2（x+x₂），②且D点坐标为（-x₂，0）．
由①②消去y，得x_M=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$．
又直线AD的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$（x+x₂），③
直线BC的方程为y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$（x+x₁）．  ④
由③④消去y，得x_N=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$．
所以x_M=x_N，即MN⊥x轴．
（Ⅲ）证明：由题意，设M（1，y₀），代入（1）中的①②，得y₀y₁=2（1+x₁），y₀y₂=2（1+x₂）．
所以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都满足方程y₀y=2（1+x）．
所以直线AB的方程为y₀y=2（1+x）．
故直线AB过定点（-1，0）．

点评 本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．