Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（$\sqrt{3}$，0），长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是圆x²+y²=b²上第一象限内的任意一点，过P作圆的切线方程与椭圆C在第一象限的交点为Q（x₁，y₁）．求证：|PQ|+|FQ|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，求出a、c的值即可；
（Ⅱ）根据点Q在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，求出|FQ|的表达式，再根据PQ为圆x²+y²=b²的切线，求出|PQ|的表达式，计算|PQ|+|FQ|即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意得，c=$\sqrt{3}$，2a=4；
∴a=4，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（4分）
（Ⅱ）∵点Q（x₁，y₁）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+${{y}_{1}}^{2}$=1；
∴|FQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}-\sqrt{3}）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{（x}_{1}-\sqrt{3}）}^{2}+（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$
=$\sqrt{{（2-{\frac{\sqrt{3}}{2}x}_{1}）}^{2}}$；  …（6分）
又∵|x₁|≤2，
∴|FQ|=$\sqrt{{（2-{\frac{\sqrt{3}}{2}x}_{1}）}^{2}}$=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁；…（8分）
又∵PQ为圆x²+y²=b²的切线，
∴|PQ|=$\sqrt{{OQ}^{2}{-OP}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}-1}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}$
=$\sqrt{{{\frac{3}{4}x}_{1}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁；  …（10分）
∴|PQ|+|FQ|=2，和为定值． …（12分）

点评 本题考查了圆的切线方程的应用问题，也考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，考查了直线与圆、直线与椭圆的应用问题，是综合性题目．