Question

8．若直线xcosθ+ysinθ+1=0与圆（x-1）²+（y+sinθ）²=$\frac{9}{16}$相交（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），则该直线斜率的取值范围是（-$\sqrt{3}$，0）．．

Answer 1

分析 由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出cosθ的范围，然后根据θ为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的范围，然后把θ代入-$\frac{cosθ}{sinθ}$中即可求出直线的斜率的范围．

解答 解：根据圆的方程（x-1）²+（y+sinθ）²=$\frac{9}{16}$，得到圆心坐标（1，-sinθ），半径r=$\frac{3}{4}$，
因为直线与圆相交，所以圆心到直线的距离d=$\frac{|cosθ-si{n}^{2}θ+1|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$＜$\frac{3}{4}$，
化简得：|cosθ-sin²θ+1|＜$\frac{3}{4}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴cosθ-sin²θ+1＜$\frac{3}{4}$，即cos²θ+cosθ-$\frac{3}{4}$＜0，
∴解得：-$\frac{3}{2}$＜cosθ＜$\frac{1}{2}$，
∴由0＜θ＜$\frac{π}{2}$，推出0＜cosθ＜$\frac{1}{2}$，
∴0$＜θ＜\frac{π}{3}$，
∴直线的斜率k=-$\frac{cosθ}{sinθ}$=-cotθ∈（-$\sqrt{3}$，0）．
故答案为：（-$\sqrt{3}$，0）．

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握根据直线方程求直线斜率的方法，是一道综合题，属于基本知识的考查．