Question

9．计算：∫$\frac{1}{（x-1）（x-2）（x-3）}$dx．

Answer 1

分析 利用分离的方法，将所求转化为$\frac{1}{2}∫（\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}）dx-∫（\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}）dx$，然后分别求积分．

解答 解：原式=$∫[\frac{1}{x-1}（\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}）]dx$=$∫（\frac{1}{x-1}•\frac{1}{x-3}）dx-∫（\frac{1}{x-1}•\frac{1}{x-2}）dx$
=$\frac{1}{2}∫（\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}）dx-∫（\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}）dx$
=$\frac{1}{2}$ln（x-3）-$\frac{1}{2}$ln（x-1）-ln（x-2）+ln（x-1）
=$\frac{1}{2}$ln（x-1）+$\frac{1}{2}$ln（x-3）-ln（x-2）
=ln$\frac{\sqrt{（x-1）（x-3）}}{x-2}$．

点评 本题考查了微积分基本定理的运用；关键是将所求变形为$\frac{1}{2}∫（\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}）dx-∫（\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}）dx$的形式解答．