Question

4．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0 交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在实数p，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线的焦点坐标F（0，2），求出抛物线方程，与直线方程联立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用韦达定理求解|AF|•|BF|的值．
（2）通过抛物线x²=2py与直线y=2x+2联立方程组，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及向量的数量积，化简求解即可．

解答 解：（1）直线2x-y+2=0 交抛物线C于A、B两点，x=0，可得y=2，所以F（0，2），p=4，
抛物线x²=8y与直线y=2x+2联立方程组得：x²-16x-16=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，
|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）=（2x₁+4）（2x₂+4）=80；（7分）
（2）假设存在，抛物线x²=2py与直线y=2x+2联立方程组得：x²-4px-4p=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p．
P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，可得Q（2p，2p）．
$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$得：（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（x₂+2-2p）=0，
$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$
代入得4p²+3p-1=0，
$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$（15分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．