Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁⊥平面ABC，底面ABC为正三角形，AA₁=4，BC=2，延长AB至D，使BD=AB．
（1）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（2）求二面角A-B₁D-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）通过A₁B₁∥BD且A₁B₁=BD，可得A₁B∥B₁D，利用线面平行的判定定理即得结论；
（2）以点A为坐标原点，以AD、AA₁所在直线分别为x、z轴建系，所求值即为平面B₁DC的法向量与平面AB₁D的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （1）证明：由题意知：A₁B₁∥AB，且A₁B₁=AB，
又∵点D在AB的延长线上，且BD=AB，
∴A₁B₁∥BD，且A₁B₁=BD，
∴四边形A₁B₁DB是平行四边形，∴A₁B∥B₁D，
又∵A₁B?平面B₁CD，B₁D?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD；
（2）解：以点A为坐标原点，以AD、AA₁所在直线分别为x、z轴建系如图，
由题易知：C（1，$\sqrt{3}$，0），D（4，0，0），B₁（2，0，4），
∴$\overrightarrow{DC}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（-2，0，4），
设平面B₁DC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y=0}\\{-2x+4z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），
又$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面AB₁D的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3+\frac{1}{4}}•\sqrt{1}}$=$\frac{2\sqrt{51}}{17}$，
∴二面角A-B₁D-C的余弦值为$\frac{2\sqrt{51}}{17}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．