Question

17．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对?x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}，{a_n}=f（n），n∈{N^*}$，且其前n项和S_n对任意的正整数n都有S_n≤M成立，则M的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，进而可以求得S_n，进而S_n的取值范围．

解答 解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=f（n）=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
故选C．

点评 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a_n}是等比数列，属中档题．