Question

2．解答下列问题：
（1）设直线l₁的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，求过点P（1，0），倾斜角是直线l₁的倾斜角的2倍数的l₂直线的方程；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，且a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过直线l₁的方程可知其倾斜角，进而可得直线l₂的斜率，利用直线l₂过点P（1，0）及直线点斜式方程即得结论；
（2）通过递推关系a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$及首项a₁=2，写出前几项的值，找出规律即得结论．

解答 解：（1）∵直线l₁的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∴直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{6}$，
∵l₂直线的倾斜角是直线l₁的倾斜角的2倍，
∴${k}_{{l}_{2}}$=$tan\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
又∵直线l₂过点P（1，0），
∴直线l₂的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-1）；
（2）∵a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，a₁=2，
∴a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$2-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
a₃=2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=2-$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$，
a₅=2-$\frac{1}{{a}_{4}}$=2-$\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$，
…
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$．

点评 本题考查求直线的方程、求数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．