Question

11．如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道，记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n层的第m个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题．
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）及P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，1≤m≤3}\\{m-3，4≤m≤6}\end{array}\right.$，试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据小弹子以相同的概率落入每个通道，在每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，推出具有一般性的结论．
（Ⅱ）根据题意知变量ξ的可能取值是3，2，1，结合变量对应的事件和前一问做出的概率公式，写出变量对应的概率和分布列，求出期望值．

解答 解：（I）根据已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是$\frac{1}{2}$，小球遇到第n行第m个障碍物（从左至右）上顶点的概率为P（n，m），可得
P（2，1）=$\frac{1}{2}$，P（3，2）=${C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，P（4，2）=${C}_{3}^{1}•（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}$
猜想P（n，m）=${C}_{n-1}^{m-1}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值为3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）=${C}_{5}^{1}•（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=$\frac{5}{8}$
分布列为：

ξ	3	2	1
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{8}$

…（10分）
Eξ=3×$\frac{1}{16}$+2×$\frac{5}{16}$+1×$\frac{5}{8}$=$\frac{23}{16}$．                   …（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．