Question

4．在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=-1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点A（5，0），倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与线段OA相交（不经过点O或点A）且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义求得抛物线方程．
（2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m的函数，利用导数求得最大值．

解答 解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=-1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为：y²=4x．
（2）由题意，可设l的方程为y=x-m，其中，0＜m＜5．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}$，消去y，得x²-（2m+4）x+m²=0，①
当0＜m＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）²-4m²=16（1+m）＞0成立．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则；x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²，
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[{x}_{1}-m-（{x}_{2}-m）]^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2+2m}$
又∵点A到直线l的距离为d=$\frac{5-m}{\sqrt{2}}$
∴S_△=2（5-m）$\sqrt{1+m}=2\sqrt{{m}^{3}-9{m}^{2}+15m+25}$
令f（m）=m³-9m²+15m+25，（0＜m＜5）
f'（m）=3m²-18m+15=3（m-1）（m-5），（0＜m＜5）
∴函数f（m）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减．
当m=1时，f（m）有最大值32，
故当直线l的方程为y=x-1时，△AMN的最大面积为8$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在高考中属于常考题型．