Question

1．已知e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$在区间[e${\;}^{\frac{1}{2}}$，e]上的最值；
（2）当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，设函数G（x）=f（x）+$\frac{4{m}^{2}-4mx}{lnx}$（其中m为常数）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c，将2a，b，c，0，1这5个数按照从小到大的顺序排列，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断函数f（x）的单调性，即可得到最值；
（2）2a，b，c，0，1这5个数按照从小到大的顺序为0＜2a＜b＜1＜c．求出G（x）的导数，求得极值点b=2m，再令h（x）=2lnx+$\frac{2m}{x}$-1，求出导数，求得最小值，求得单调区间，即可判断2a，c与1的大小．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$的导数f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{l{n}^{2}x}$，
当x∈[e${\;}^{\frac{1}{2}}$，e]时，f′（x）≥0，f（x）在[e${\;}^{\frac{1}{2}}$，e]递增，
f（${e}^{\frac{1}{2}}$）为最小值，且为2e，f（e）为最大值，且为e²；
（2）2a，b，c，0，1这5个数按照从小到大的顺序为0＜2a＜b＜1＜c．
由题意可得G（x）=$\frac{（x-2m）^{2}}{lnx}$，G′（x）=$\frac{（x-2m）（2lnx+\frac{2m}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$，
对于函数h（x）=2lnx+$\frac{2m}{x}$-1，有h′（x）=$\frac{2x-2m}{{x}^{2}}$，
∴函数h（x）在（a，m）上单调递减，在（m，c）上单调递增，
∵函数f（x）有3个极值点a＜b＜c，
从而h_min（x）=h（m）=2lnm+1＜0，所以m＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，h（2m）=2ln2m＜0，h（1）=2m-1＜0，
∴函数G（x）的递增区间有（a，2m）和（c，+∞），
递减区间有（0，a），（2m，1），（1，c），
此时，函数f（x）有3个极值点，且b=2m；
∴当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，a，c是函数h（x）=2lnx+$\frac{2m}{x}$-1的两个零点，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2lna+\frac{2m}{a}-1=0}\\{2lnc+\frac{2m}{c}-1=0}\end{array}\right.$，消去m有2alna-a=2clnc-c，
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，且a＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
即有0＜2a＜b＜1＜c．

点评 本题考查导数的应用：求单调区间和最值，同时考查函数的单调性，不等式的性质，属于综合题．