Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和
C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上的动点，已知C₁的焦距为2，点T在直线AB上，且
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，又当动点A在x轴上的射影为C₁的焦点时，点A恰在双曲线2y²-x²=1的渐近线上．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂共焦点，且C₁的长轴与C₂的短轴长度相等，求|AB|²的取值范围；
（皿）若m，n是常数，且$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．证明|OT|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；
（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C₂方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；
（Ⅲ）由T，A，B三点共线，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，可得$\frac{1}{|OT{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$，将y=-$\frac{1}{k}$x代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．

解答 解：（Ⅰ）双曲线2y²-x²=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即有$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=1，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆C₁的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）C₁的长轴与C₂的短轴等长，即n=a=$\sqrt{2}$，
又C₁，C₂共焦点，可得m=$\sqrt{{n}^{2}+1}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x²+2y²=2，
可得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，则|OA|²=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
将y=-$\frac{1}{k}$x代入椭圆2x²+3y²=6，可得x²=$\frac{6{k}^{2}}{3+2{k}^{2}}$，
则|OB|²=$\frac{（1+{k}^{2}）•6{k}^{2}}{{k}^{2}（3+2{k}^{2}）}$=3-$\frac{3}{3+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，可得|AB|²=|OA|²+|OB|²，
则|AB|²=4+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{3}{3+2{k}^{2}}$=4-$\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）（3+2{k}^{2}）}$=4-$\frac{4}{8+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}$＜4，
又4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥4$\sqrt{3}$，当且仅当k²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取得等号，
则有|AB|²≥4-$\frac{4}{8+4\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，
即|AB|²∈[2+$\sqrt{3}$，4），
②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|²=4，
综上可得，|AB|²的取值范围是[2+$\sqrt{3}$，4]；
（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，
可得|OT|²=$\frac{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}}{|OA{|}^{2}+|OB{|}^{2}}$，
即有$\frac{1}{|OT{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$，
将y=-$\frac{1}{k}$x代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1，得x²=$\frac{1}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$，
则|OB|²=$\frac{1+\frac{1}{{k}^{2}}}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}$，
则$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，又$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
则有$\frac{1}{|OT{|}^{2}}$=$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
由于$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{|OT{|}^{2}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）（1+{k}^{2}）}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，即|OT|=$\frac{m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，
综上可得|OT|为定值．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，解方程，求交点，同时考查双曲线的渐近线方程和向量垂直的条件，以及基本不等式的运用，考查运算化简能力，属于难题．