Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：a₂+a₄=18，S₇=91．递增的等比数列{b_n}前n项和为T_n，满足：b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，T_k=126，
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式
（2）设数列{c_n}对?n∈N⁺，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₅．

Answer 1

分析 （1）由等差、等比数列的通项公式、前n项和公式和性质，分别列出方程求出公差和公比，再代入等差、等比数列的通项公式化简即可；
（2）令n取n-1代入已知的式子再两式相减，由（1）的结果进行化简求出c_n，并验证n=1时是否成立，再利用等比数列的前n项和公式化简所求的式子．

解答 解：（1）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}+{a_4}=2{a_3}=18}\\{{S_7}=\frac{{7（{a_1}+{a_7}）}}{2}=7{a_4}=91}\end{array}}\right.$，
解得a₃=9，a₄=13，
则公差d=4，所以a_n=a₃+4（n-3）=4n-3，
因为{b_n}是递增的等比数列，且b₁+b_k=66，b₂b_k-1=128，
所以b₂b_k-1=b₁b_k=128，b₁+b_k=66，
则b₁，b_k是方程x²-66x+128=0的两根，解得b₁=2，b_k=64，
又${T_k}=\frac{{{b_1}-{b_k}q}}{1-q}=\frac{2-64q}{1-q}=126$，
解得q=2，所以${b}_{n}={b}_{1}{q}^{n-1}={2}^{n}$，
（2）因为$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，
所以$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+…+\frac{{{c_{n-1}}}}{{{b_{n-1}}}}={a_n}（n≥2）$，
两式相减得：$\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}-{a_n}=4（n≥2）$
所以由（1）可得，${c_n}=4{b_n}={2^{n+2}}（n≥2）$，
又$\frac{c_1}{b_1}={a_2}=5，{b_1}=2$，则c₁=10，
所以${c_1}+{c_2}+…+{c_{2015}}=10+（{2^2}+{2^4}+…+{2^{2017}}）={2^{2018}}-6$．

点评 本题考查了等差、等比数列的通项公式、前n项和公式和性质，以及数列前n项和的化简，方程思想的应用，属于中档题．