Question

15．如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC=2$\sqrt{3}$，CD=2．
（1）求圆O的半径；
（2）若点E为AB中点，求证O，E，D三点共线．

Answer 1

分析 （1）取BD中点为F，连结OF，求出BC，可得BF，利用勾股定理求圆O的半径；
（2）证明四边形OADB为平行四边形，利用E为AB的中点，即可证明O，E，D三点共线．

解答 （1）解：取BD中点为F，连结OF，由题意知，OF∥AC，OF=AC．
∵AC为圆O的切线，BC为割线，
∴CA²=CD•CB，
由$AC=2\sqrt{3}，CD=2$，∴BC=6，
∴BD=4，BF=2
在Rt△OBF中，由勾股定理得，$r=OB=\sqrt{O{F^2}+B{F^2}}=4$．（5分）
（2）证明：由（1）知，OA∥BD，OA=BD
∴四边形OADB为平行四边形，
又∵E为AB的中点，
∴OD与AB交于点E，
∴O，E，D三点共线．（5分）

点评 本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容．本小题重点考查考生对平面几何推理能力．