Question

7．某地区有小学18所，中学12所，大学6所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率；
（2）若某小学被抽取，该小学五个年级近视眼率y的数据如下表：

年级号x	1	2	3	4	5
近视眼率y	0.1	0.15	0.2	0.3	0.39

根据前四个年级的数据，利用最小二乘法求y关于x的线性回归直线方程，并计算五年级近视眼率的估计值与实际值之间的差的绝对值．
（附：回归直线$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）3所小学、2所中学、1所大学，分别为a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，c₁，列出6所学校抽取2所所有基本事件，事件A为抽取的2所学校均为小学的事件，求解概率．
（2）根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a，b的值，写出线性回归方程，代入x的值，求出近视眼率的估计值．

解答 解：（1）18：12：6=3：2：1，故抽取的6所学校中有3所小学、2所中学、1所大学，分别为a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，c₁，…（1分）
6所学校抽取2所所有基本事件为：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，c₁），（a₂，a₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，c₁），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₃，c₁），（b₁，b₂），（b₁，c₁），（b₂，c₁）共15种，…（2分）
设事件A为抽取的2所学校均为小学，则A事件有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃）共3种，
…（4分）
故P（A）=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$．
答：抽取的2所学校均为小学的概率为：$\frac{1}{5}$．…（5分）
（2）$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}$=2.5，$\overline{y}=\frac{0.1+0.15+0.2+0.3+0.39}{5}$=0.1875，
$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}=30$，$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{\;}{y}_{i}=22$…（8分）
∴$\hat{b}$=0.065，$\hat{a}$=0.025…（10分）
∴$\hat{y}$=0.065x+0.025，x=5时，$\hat{y}$=0.35，
|0.35-0.39|=0.04．…（12分）

点评 本题考查古典概型概率的求法，线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．