Question

16．F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）满足OF=OP=$\sqrt{5}{，_{\;}}$PF=2，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 运用余弦定理可得cos∠OFP，求得sin∠OFP，求得P的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系，求得a，再由离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由余弦定理可得cos∠OFP=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+{2}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则sin∠OFP=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
可设P为第一象限的点，
即有P（$\sqrt{5}$-2cos∠OFP，2sin∠OFP），
即为P（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
代入双曲线方程，可得
$\frac{9}{5{a}^{2}}$-$\frac{16}{5{b}^{2}}$=1，
又a²+b²=5，
解得a=1，b=2，
则离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查余弦定理和任意角的三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．