Question

7．已知函数f（x）=alnx-$\frac{x-1}{x+1}$．
（1）当a=1时，求f（x）在x=2处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）＞0，求实数a的取值范围；
（3）证明：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求导数，求出切线的斜率、切点的坐标，即可求f（x）在x=2处的切线方程；
（2）求导数，利用判别式，结合函数的单调性，即可求实数a的取值范围；
（2）确定当a=$\frac{1}{2}$时，令x=$\frac{n+1}{n}$，则$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，累加可得结论．

解答 （1）解：当a=1时，f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$…（1分）
∴f（2）=ln2-$\frac{1}{3}$，f′（2）=$\frac{5}{18}$…（3分）
∴f（x）在x=2处的切线方程为y=$\frac{5}{18}$x+ln2-$\frac{8}{9}$．…（4分）
（2）解：f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+（2a-2）x+a}{x（x+1）^{2}}$，…（5分）
依题知f（1）=0，故f′（1）≥0，∴a≥$\frac{1}{2}$．…（6分）
令g（x）=ax²+（2a-2）x+a，△=-8a+4（a≥$\frac{1}{2}$），…（7分）
故g（x）≥0，a≥$\frac{1}{2}$，则f′（x）≥0，即f（x）在（1，+∞）上单调递增，…（8分）
又f（1）=0，∴a≥$\frac{1}{2}$．…（9分）
（3）证明：当a=$\frac{1}{2}$时，令x=$\frac{n+1}{n}$，则$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{2n+1}$，…（10分）
累加不等式，∴$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1）（n∈N^*）．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确运用导数的关键．