Question

15．如图，在正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AB=3，CE=2EC₁．
（Ⅰ）若F是AB的中点，求证；C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角D一BE一C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CF交BD于点M，连结ME，通过△BMF∽△DMC，计算可得EM∥C₁F，利用线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以D为坐标原点建系D-xyz，所求值即为平面BDE的法向量与平面BCE的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：连结CF交BD于点M，连结ME，
根据题意易得：△BMF∽△DMC．
∵F是AB的中点，∴$\frac{MF}{MC}$=$\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CE=2EC₁，∴$\frac{E{C}_{1}}{EC}=\frac{1}{2}$，
于是在△CFC₁中，有$\frac{MF}{MC}$=$\frac{E{C}_{1}}{EC}$，∴EM∥C₁F，
又∵EM?平面BDE，C₁F?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建系D-xyz如图，
则D（0，0，0），B（3，3，0），E（0，3，2），
∴$\overrightarrow{DB}$=（3，3，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，3，2），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{3x+3y=0}\\{3y+2z=0}\end{array}\right.$，
取y=-2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-2，3），
又平面BCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{17}}$=-$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
∵二面角D一BE一C是锐二面角，
∴二面角D一BE一C的余弦值为$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查空间中线面平行的判定，考查二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．