Question

3．已知直线l：x-y+2=0（m∈R）与圆C：（x+2）²+（y-1）²=4相交于A，B两点，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=7．

Answer 1

分析 由题意画出图形，联立直线和圆的方程，利用弦长公式求得AB，再利用数量积的几何意义求得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$．

解答 解：如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{（x+2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²+6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-3，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{2}$．
∴AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{1+1}•\sqrt{（-3）^{2}-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{14}$．
由数量积的几何意义可得：$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$|\overrightarrow{AB}|•\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=\frac{14}{2}=7$．
故答案为：7．

点评 本题考查直线和圆相交的性质，考查了弦长公式的应用，考查了平面向量数量积的几何意义，是中档题．