Question

4．已知点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）右支上的动点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，∠F₁PF₂的角平分线l与x轴交于点Q（x₀，0），设双曲线的半焦距为c，若x₀的范围是0＜x₀≤$\frac{2}{3}$c，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 设PF₁=m，PF₂=n，（m＞n），由双曲线的定义可得，m-n=2a，再由角平分线的性质可得，$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$，运用比例的性质，结合条件和双曲线的范围，即可得到离心率．

解答 解：设PF₁=m，PF₂=n，（m＞n），
由双曲线的定义可得，m-n=2a，
再由角平分线的性质可得，
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$，
即为$\frac{m}{n}$=$\frac{{x}_{0}+c}{c-{x}_{0}}$，
则$\frac{m+n}{m-n}$=$\frac{c}{{x}_{0}}$，
由m-n=2a，m+n≥2c，0＜x₀≤$\frac{2}{3}$c，
即有当m+n=2c，x₀=$\frac{2}{3}$c，
等式成立，
则有$\frac{2c}{2a}$=$\frac{c}{\frac{2}{3}c}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法和双曲线的范围，运用角平分线的性质定理是解题的关键．